EXEMPLE SIMPLE

Le satellite de forme générale cubique est doté d'une seule roue de réaction, mue par un moteur, autour de l'axe satellite k. On fera le calcul, dans le cas d'un spin autour de i, avec un couple perturbateur Cp autour de j.

I Données :

Repère inertiel non représenté

Repère O ijk, relatif, lié au satellite, principal d'inertie pour le satellite S

Satellite S : Moments d'inertie : A autour de Oi, B autour de Oj , C autour de Ok

Roue R : inertie axiale c = I_R des notations, inerties transversales a.

Rotations instantanées :

Inertielle de S, W = ( p, q, r ) / ijk, un peu plus loin, nous supposerons le satellite spinné autour de i à une vitesse angulaire W >> p ou q

Relative à S de la roue R , W_R3 / k, c'est la composante W_R3 des notations

Notations :

S* désignera le solide obtenu avec le satellite S et la roue R bloquée sur S, on dira "roue figée" ou ensemble "solidifié", celui dont le mouvement est intéressant dans les applications.

Le couple perturbateur externe vaut Cp j

II CALCULS :

1°) Moments cinétiques :

Un calcul classique donne :

donnant comme moment cinétique général

On retrouve alors bien la formulation du cours

2°) EQUATIONS DU MOUVEMENT :

a) Méthode du cours :

C'est le théorème du moment cinétique, utilisant la dérivée absolue, avec projections sur les axes principaux ijk.

Equation que l'on peut encore écrire

Il vient une relation simple

INTERPRETATION : Le mouvement du "satellite figé" avec une roue se met en équations, exactement comme le satellite seul, en ajoutant tout simplement un terme supplémentaire C_g provenant de la rotation relative de la roue et une sorte de couple moteur réactif sur l'axe de commande k.

b) Autre formulation : voir couple gyroscopique

Il suffit de revenir à la notion de couple gyroscopique, pour que tout s'éclaire. Le terme

n'est autre que le couple gyroscopique C_g induit par la rotation transverse sur le satellite. C'est pour cette raison que les roues s'appellent roues de réaction. Ce sont les réactions gyroscopiques

c) APPLICATION SIMPLE :

Si on suppose à l'instant du calcul le satellite parfaitement spinné autour de i, à la vitesse W. Donc p = W, q = r nuls ou voisins de 0, A* = A+ a

De plus on le supposera inertielle ment équivalent à un cylindre ( C* = C+I_R3 = B* = B+b )

On obtient les équations:

La première équation montre bien le rôle de la roue de réaction qui contre le couple perturbateur.

Bien sûr, en pratique les couplages et les opposés des couples moteurs internes imposent de travailler avec 3 roues sur les 3 axes.

Guiziou Robert 2011